Kruskal演算法

Kruskal演算法用於查找連接加權圖的最小生成樹。該演算法的主要目標是通過使用哪個來找到邊的子集，可以遍曆圖的每個頂點。Kruskal演算法遵循貪婪的方法，在每個階段找到最佳解決方案，而不是專注於全局最優。

Kruskal演算法如下。

第1步：創建一個森林，使每個圖形都是一個單獨的樹。

第2步：創建包含圖表所有邊緣的優先順序佇列Q。

第3步：重複第4步和第5步，而Q不為空。

第4步：從Q中刪除邊
第5步：如果在步驟4中獲得的邊連接兩個不同的樹，則將其添加到森林中(用於將兩個樹組合成一個樹)。

    其他
    丟棄邊

第6步：結束

示例：
將Kruskal演算法應用於如下圖表。

解決方案：

邊的權重如下：

根據權重對邊進行排序。

開始構建樹，將AB添加到MST;

將DE添加到MST;

將BC添加到MST;

下一步是添加AE，但不能添加它，因為它會導致迴圈。
要添加的下一個邊是AC，但不能添加，因為它會導致迴圈。
要添加的下一個邊是AD，但無法添加，因為它將包含一個迴圈。
因此，最終的MST是步驟4中所示的MST。
MST的成本 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10。

使用C++實現上面演算法，代碼如下所示 -

#include <iostream>
#include <vector>
#include <utility>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAX = 1e4 + 5;
int id[MAX], nodes, edges;
pair <long long, pair<int, int> > p[MAX];

void init()
{
    for(int i = 0;i < MAX;++i)
        id[i] = i;
}

int root(int x)
{
    while(id[x] != x)
    {
        id[x] = id[id[x]];
        x = id[x];
    }
    return x;
}

void union1(int x, int y)
{
    int p = root(x);
    int q = root(y);
    id[p] = id[q];
}

long long kruskal(pair<long long, pair<int, int> > p[])
{
    int x, y;
    long long cost, minimumCost = 0;
    for(int i = 0;i < edges;++i)
    {
        x = p[i].second.first;
        y = p[i].second.second;
        cost = p[i].first;
        if(root(x) != root(y))
        {
            minimumCost += cost;
            union1(x, y);
        }
    }
    return minimumCost;
}

int main()
{
    int x, y;
    long long weight, cost, minimumCost;
    init();
    cout <<"Enter Nodes and edges";
    cin >> nodes >> edges;
    for(int i = 0;i < edges;++i)
    {
        cout<<"Enter the value of X, Y and edges";
    cin >> x >> y >> weight;
        p[i] = make_pair(weight, make_pair(x, y));
    }
    sort(p, p + edges);
    minimumCost = kruskal(p);
    cout <<"Minimum cost is "<< minimumCost << endl;
    return 0;
}

執行上面示例代碼，得到以下結果：

Enter Nodes and edges5
5
Enter the value of X, Y and edges5
4
3
Enter the value of X, Y and edges2
3
1
Enter the value of X, Y and edges1
2
3
Enter the value of X, Y and edges5
4
3
Enter the value of X, Y and edges23
3
4
Minimum cost is 11