NumPy 線性代數

NumPy 提供了線性代數函數庫 linalg，該庫包含了線性代數所需的所有功能，可以看看下麵的說明：

函數 描述
dot 兩個數組的點積，即元素對應相乘。
vdot 兩個向量的點積
inner 兩個數組的內積
matmul 兩個數組的矩陣積
determinant 數組的行列式
solve 求解線性矩陣方程
inv 計算矩陣的乘法逆矩陣

numpy.dot()

numpy.dot() 對於兩個一維的數組，計算的是這兩個數組對應下標元素的乘積和(數學上稱之為內積)；對於二維數組，計算的是兩個數組的矩陣乘積；對於多維數組，它的通用計算公式如下，即結果數組中的每個元素都是：數組a的最後一維上的所有元素與數組b的倒數第二位上的所有元素的乘積和： dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m])。

numpy.dot(a, b, out=None)

參數說明：

  • a : ndarray 數組
  • b : ndarray 數組
  • out : ndarray, 可選，用來保存dot()的計算結果

實例

import numpy.matlib import numpy as np a = np.array([[1,2],[3,4]]) b = np.array([[11,12],[13,14]]) print(np.dot(a,b))

輸出結果為：

[[37  40]
 [85  92]]

計算式為：

[[1*11+2*13, 1*12+2*14],[3*11+4*13, 3*12+4*14]]

numpy.vdot()

numpy.vdot() 函數是兩個向量的點積。 如果第一個參數是複數，那麼它的共軛複數會用於計算。 如果參數是多維數組，它會被展開。

實例

import numpy as np a = np.array([[1,2],[3,4]]) b = np.array([[11,12],[13,14]]) # vdot 將數組展開計算內積 print (np.vdot(a,b))

輸出結果為：

130

計算式為：

1*11 + 2*12 + 3*13 + 4*14 = 130

numpy.inner()

numpy.inner() 函數返回一維數組的向量內積。對於更高的維度，它返回最後一個軸上的和的乘積。

實例

import numpy as np print (np.inner(np.array([1,2,3]),np.array([0,1,0]))) # 等價於 1*0+2*1+3*0

輸出結果為：

2

多維數組實例

import numpy as np a = np.array([[1,2], [3,4]]) print ('數組 a：') print (a) b = np.array([[11, 12], [13, 14]]) print ('數組 b：') print (b) print ('內積：') print (np.inner(a,b))

輸出結果為：

數組 a：

[[1 2]
 [3 4]]
數組 b：

[[11 12]
 [13 14]]
內積：

[[35 41]
 [81 95]]
數組 a：

[[1 2]
 [3 4]]
數組 b：

[[11 12]
 [13 14]]
內積：

[[35 41]
 [81 95]]

內積計算式為：

1*11+2*12, 1*13+2*14
3*11+4*12, 3*13+4*14

numpy.matmul

numpy.matmul 函數返回兩個數組的矩陣乘積。 雖然它返回二維數組的正常乘積，但如果任一參數的維數大於2，則將其視為存在於最後兩個索引的矩陣的棧，並進行相應廣播。

另一方面，如果任一參數是一維數組，則通過在其維度上附加 1 來將其提升為矩陣，並在乘法之後被去除。

對於二維數組，它就是矩陣乘法：

實例

import numpy.matlib import numpy as np a = [[1,0],[0,1]] b = [[4,1],[2,2]] print (np.matmul(a,b))

輸出結果為：

[[4  1]
 [2  2]]

二維和一維運算：

實例

import numpy.matlib import numpy as np a = [[1,0],[0,1]] b = [1,2] print (np.matmul(a,b)) print (np.matmul(b,a))

輸出結果為：

[1  2]
[1  2]

維度大於二的數組 ：

實例

import numpy.matlib import numpy as np a = np.arange(8).reshape(2,2,2) b = np.arange(4).reshape(2,2) print (np.matmul(a,b))

輸出結果為：

[[[ 2  3]
  [ 6 11]]

 [[10 19]
  [14 27]]]

numpy.linalg.det()

numpy.linalg.det() 函數計算輸入矩陣的行列式。

行列式線上性代數中是非常有用的值。 它從方陣的對角元素計算。 對於 2×2 矩陣，它是左上和右下元素的乘積與其他兩個的乘積的差。

換句話說，對於矩陣[[a，b]，[c，d]]，行列式計算為 ad-bc。 較大的方陣被認為是 2×2 矩陣的組合。

實例

import numpy as np a = np.array([[1,2], [3,4]]) print (np.linalg.det(a))

輸出結果為：

-2.0

實例

import numpy as np b = np.array([[6,1,1], [4, -2, 5], [2,8,7]]) print (b) print (np.linalg.det(b)) print (6*(-2*7 - 5*8) - 1*(4*7 - 5*2) + 1*(4*8 - -2*2))

輸出結果為：

[[ 6  1  1]
 [ 4 -2  5]
 [ 2  8  7]]
-306.0
-306

numpy.linalg.solve()

numpy.linalg.solve() 函數給出了矩陣形式的線性方程的解。

考慮以下線性方程：

x + y + z = 6

2y + 5z = -4

2x + 5y - z = 27

可以使用矩陣表示為：

如果矩陣成為A、X和B，方程變為：

AX = B

或


X = A^(-1)B

numpy.linalg.inv()

numpy.linalg.inv() 函數計算矩陣的乘法逆矩陣。

逆矩陣（inverse matrix）：設A是數域上的一個n階矩陣，若在相同數域上存在另一個n階矩陣B，使得： AB=BA=E ，則我們稱B是A的逆矩陣，而A則被稱為可逆矩陣。注：E為單位矩陣。

實例

import numpy as np x = np.array([[1,2],[3,4]]) y = np.linalg.inv(x) print (x) print (y) print (np.dot(x,y))

輸出結果為：

[[1 2]
 [3 4]]
[[-2.   1. ]
 [ 1.5 -0.5]]
[[1.0000000e+00 0.0000000e+00]
 [8.8817842e-16 1.0000000e+00]]

現在創建一個矩陣A的逆矩陣:

實例

import numpy as np a = np.array([[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]]) print ('數組 a：') print (a) ainv = np.linalg.inv(a) print ('a 的逆：') print (ainv) print ('矩陣 b：') b = np.array([[6],[-4],[27]]) print (b) print ('計算：A^(-1)B：') x = np.linalg.solve(a,b) print (x) # 這就是線性方向 x = 5, y = 3, z = -2 的解

輸出結果為：

數組 a：

[[ 1  1  1]
 [ 0  2  5]
 [ 2  5 -1]]
a 的逆：
[[ 1.28571429 -0.28571429 -0.14285714]
 [-0.47619048  0.14285714  0.23809524]
 [ 0.19047619  0.14285714 -0.0952381 ]]
矩陣 b：

[[ 6]
 [-4]
 [27]]
計算：A^(-1)B：

[[ 5.]
 [ 3.]
 [-2.]]

結果也可以使用以下函數獲取：

x = np.dot(ainv,b)