Kruskal算法

Kruskal算法用于查找连接加权图的最小生成树。该算法的主要目标是通过使用哪个来找到边的子集，可以遍历图的每个顶点。Kruskal算法遵循贪婪的方法，在每个阶段找到最佳解决方案，而不是专注于全局最优。

Kruskal算法如下。

第1步：创建一个森林，使每个图形都是一个单独的树。
第2步：创建包含图表所有边缘的优先级队列Q。
第3步：重复第4步和第5步，而Q不为空。
第4步：从Q中删除边
第5步：如果在步骤4中获得的边连接两个不同的树，则将其添加到森林中(用于将两个树组合成一个树)。
    其他
    丢弃边
第6步：结束

示例：
将Kruskal算法应用于如下图表。

解决方案：

边的权重如下：

根据权重对边进行排序。

开始构建树，将AB添加到MST;

将DE添加到MST;

将BC添加到MST;

下一步是添加AE，但不能添加它，因为它会导致循环。
要添加的下一个边是AC，但不能添加，因为它会导致循环。
要添加的下一个边是AD，但无法添加，因为它将包含一个循环。
因此，最终的MST是步骤4中所示的MST。
MST的成本 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10。

使用C++实现上面算法，代码如下所示 -

#include <iostream>  
#include <vector>  
#include <utility>  
#include <algorithm>  
using namespace std;  
const int MAX = 1e4 + 5;  
int id[MAX], nodes, edges;  
pair <long long, pair<int, int> > p[MAX];  

void init()  
{  
    for(int i = 0;i < MAX;++i)  
        id[i] = i;  
}  

int root(int x)  
{  
    while(id[x] != x)  
    {  
        id[x] = id[id[x]];  
        x = id[x];  
    }  
    return x;  
}  

void union1(int x, int y)  
{  
    int p = root(x);  
    int q = root(y);  
    id[p] = id[q];  
}  

long long kruskal(pair<long long, pair<int, int> > p[])  
{  
    int x, y;  
    long long cost, minimumCost = 0;  
    for(int i = 0;i < edges;++i)  
    {  
        x = p[i].second.first;  
        y = p[i].second.second;  
        cost = p[i].first;  
        if(root(x) != root(y))  
        {  
            minimumCost += cost;  
            union1(x, y);  
        }      
    }  
    return minimumCost;  
}  

int main()  
{  
    int x, y;  
    long long weight, cost, minimumCost;  
    init();  
    cout <<"Enter Nodes and edges";  
    cin >> nodes >> edges;  
    for(int i = 0;i < edges;++i)  
    {  
        cout<<"Enter the value of X, Y and edges";  
    cin >> x >> y >> weight;  
        p[i] = make_pair(weight, make_pair(x, y));  
    }  
    sort(p, p + edges);  
    minimumCost = kruskal(p);  
    cout <<"Minimum cost is "<< minimumCost << endl;  
    return 0;  
}

执行上面示例代码，得到以下结果：

Enter Nodes and edges5
5
Enter the value of X, Y and edges5 
4
3
Enter the value of X, Y and edges2
3
1
Enter the value of X, Y and edges1
2
3
Enter the value of X, Y and edges5
4
3
Enter the value of X, Y and edges23
3
4
Minimum cost is 11